Products (respectively, sums) over a finset or a multiset.

The regular Finset.prod and Multiset.prod require [CommMonoid α]. Often, there are collections s : Finset α where [Monoid α] and we know, in a dependent fashion, that for all the terms ∀ (x ∈ s) (y ∈ s), Commute x y. This allows to still have a well-defined product over s.

Main definitions

• Finset.noncommProd, requiring a proof of commutativity of held terms
• Multiset.noncommProd, requiring a proof of commutativity of held terms

Implementation details

While List.prod is defined via List.foldl, noncommProd is defined via Multiset.foldr for neater proofs and definitions. By the commutativity assumption, the two must be equal.

TODO: Tidy up this file by using the fact that the submonoid generated by commuting elements is commutative and using the Finset.prod versions of lemmas to prove the noncommProd version.

def Multiset.noncommFoldr {α : Type u_3} {β : Type u_4} (f : α → β → β) (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise fun (x y : α) => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)) (b : β) : β

Fold of a s : Multiset α with f : α → β → β, given a proof that LeftCommutative f on all elements x ∈ s.

Equations

• Multiset.noncommFoldr f s comm b = Multiset.foldr (f ∘ Subtype.val) ⋯ b s.attach

@[simp]

theorem Multiset.noncommFoldr_coe {α : Type u_3} {β : Type u_4} (f : α → β → β) (l : List α) (comm : {x : α | x ∈ ↑l}.Pairwise fun (x y : α) => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)) (b : β) : Multiset.noncommFoldr f (↑l) comm b = List.foldr f b l

@[simp]

theorem Multiset.noncommFoldr_empty {α : Type u_3} {β : Type u_4} (f : α → β → β) (h : {x : α | x ∈ 0}.Pairwise fun (x y : α) => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)) (b : β) : Multiset.noncommFoldr f 0 h b = b

theorem Multiset.noncommFoldr_cons {α : Type u_3} {β : Type u_4} (f : α → β → β) (s : Multiset α) (a : α) (h : {x : α | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun (x y : α) => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)) (h' : {x : α | x ∈ s}.Pairwise fun (x y : α) => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)) (b : β) : Multiset.noncommFoldr f (a ::ₘ s) h b = f a (Multiset.noncommFoldr f s h' b)

theorem Multiset.noncommFoldr_eq_foldr {α : Type u_3} {β : Type u_4} (f : α → β → β) (s : Multiset α) (h : LeftCommutative f) (b : β) : Multiset.noncommFoldr f s ⋯ b = Multiset.foldr f h b s

def Multiset.noncommFold {α : Type u_3} (op : α → α → α) [assoc : Std.Associative op] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise fun (x y : α) => op x y = op y x) : α → α

Fold of a s : Multiset α with an associative op : α → α → α, given a proofs that op is commutative on all elements x ∈ s.

Equations

• Multiset.noncommFold op s comm = Multiset.noncommFoldr op s ⋯

@[simp]

theorem Multiset.noncommFold_coe {α : Type u_3} (op : α → α → α) [assoc : Std.Associative op] (l : List α) (comm : {x : α | x ∈ ↑l}.Pairwise fun (x y : α) => op x y = op y x) (a : α) : Multiset.noncommFold op (↑l) comm a = List.foldr op a l

@[simp]

theorem Multiset.noncommFold_empty {α : Type u_3} (op : α → α → α) [assoc : Std.Associative op] (h : {x : α | x ∈ 0}.Pairwise fun (x y : α) => op x y = op y x) (a : α) : Multiset.noncommFold op 0 h a = a

theorem Multiset.noncommFold_cons {α : Type u_3} (op : α → α → α) [assoc : Std.Associative op] (s : Multiset α) (a : α) (h : {x : α | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun (x y : α) => op x y = op y x) (h' : {x : α | x ∈ s}.Pairwise fun (x y : α) => op x y = op y x) (x : α) : Multiset.noncommFold op (a ::ₘ s) h x = op a (Multiset.noncommFold op s h' x)

theorem Multiset.noncommFold_eq_fold {α : Type u_3} (op : α → α → α) [assoc : Std.Associative op] (s : Multiset α) [Std.Commutative op] (a : α) : Multiset.noncommFold op s ⋯ a = Multiset.fold op a s

theorem Multiset.noncommSum.proof_1 {α : Type u_1} [AddMonoid α] : Std.Associative fun (x x_1 : α) => x + x_1

def Multiset.noncommSum {α : Type u_3} [AddMonoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) : α

Sum of a s : Multiset α with [AddMonoid α], given a proof that + commutes on all elements x ∈ s.

Equations

• s.noncommSum comm = Multiset.noncommFold (fun (x x_1 : α) => x + x_1) s comm 0

def Multiset.noncommProd {α : Type u_3} [Monoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) : α

Product of a s : Multiset α with [Monoid α], given a proof that * commutes on all elements x ∈ s.

Equations

• s.noncommProd comm = Multiset.noncommFold (fun (x x_1 : α) => x * x_1) s comm 1

@[simp]

theorem Multiset.noncommSum_coe {α : Type u_3} [AddMonoid α] (l : List α) (comm : {x : α | x ∈ ↑l}.Pairwise AddCommute) : (↑l).noncommSum comm = l.sum

@[simp]

theorem Multiset.noncommProd_coe {α : Type u_3} [Monoid α] (l : List α) (comm : {x : α | x ∈ ↑l}.Pairwise Commute) : (↑l).noncommProd comm = l.prod

@[simp]

theorem Multiset.noncommSum_empty {α : Type u_3} [AddMonoid α] (h : {x : α | x ∈ 0}.Pairwise AddCommute) : Multiset.noncommSum 0 h = 0

@[simp]

theorem Multiset.noncommProd_empty {α : Type u_3} [Monoid α] (h : {x : α | x ∈ 0}.Pairwise Commute) : Multiset.noncommProd 0 h = 1

@[simp]

theorem Multiset.noncommSum_cons {α : Type u_3} [AddMonoid α] (s : Multiset α) (a : α) (comm : {x : α | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise AddCommute) : (a ::ₘ s).noncommSum comm = a + s.noncommSum ⋯

@[simp]

theorem Multiset.noncommProd_cons {α : Type u_3} [Monoid α] (s : Multiset α) (a : α) (comm : {x : α | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute) : (a ::ₘ s).noncommProd comm = a * s.noncommProd ⋯

theorem Multiset.noncommSum_cons' {α : Type u_3} [AddMonoid α] (s : Multiset α) (a : α) (comm : {x : α | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise AddCommute) : (a ::ₘ s).noncommSum comm = s.noncommSum ⋯ + a

theorem Multiset.noncommProd_cons' {α : Type u_3} [Monoid α] (s : Multiset α) (a : α) (comm : {x : α | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute) : (a ::ₘ s).noncommProd comm = s.noncommProd ⋯ * a

theorem Multiset.noncommSum_add {α : Type u_3} [AddMonoid α] (s : Multiset α) (t : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s + t}.Pairwise AddCommute) : (s + t).noncommSum comm = s.noncommSum ⋯ + t.noncommSum ⋯

theorem Multiset.noncommProd_add {α : Type u_3} [Monoid α] (s : Multiset α) (t : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s + t}.Pairwise Commute) : (s + t).noncommProd comm = s.noncommProd ⋯ * t.noncommProd ⋯

theorem Multiset.noncommSum_induction {α : Type u_3} [AddMonoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) (p : α → Prop) (hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a + b)) (unit : p 0) (base : ∀ x ∈ s, p x) : p (s.noncommSum comm)

theorem Multiset.noncommProd_induction {α : Type u_3} [Monoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (p : α → Prop) (hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)) (unit : p 1) (base : ∀ x ∈ s, p x) : p (s.noncommProd comm)

theorem Multiset.map_noncommSum_aux {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid α] [AddMonoid β] [FunLike F α β] [AddMonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) (f : F) : {x : β | x ∈ Multiset.map (⇑f) s}.Pairwise AddCommute

theorem Multiset.map_noncommProd_aux {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid α] [Monoid β] [FunLike F α β] [MonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (f : F) : {x : β | x ∈ Multiset.map (⇑f) s}.Pairwise Commute

theorem Multiset.map_noncommSum {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid α] [AddMonoid β] [FunLike F α β] [AddMonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) (f : F) : f (s.noncommSum comm) = (Multiset.map (⇑f) s).noncommSum ⋯

theorem Multiset.map_noncommProd {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid α] [Monoid β] [FunLike F α β] [MonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (f : F) : f (s.noncommProd comm) = (Multiset.map (⇑f) s).noncommProd ⋯

@[deprecated Multiset.map_noncommProd]

theorem Multiset.noncommProd_map {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid α] [Monoid β] [FunLike F α β] [MonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (f : F) : f (s.noncommProd comm) = (Multiset.map (⇑f) s).noncommProd ⋯

Alias of Multiset.map_noncommProd.

@[deprecated Multiset.map_noncommSum]

theorem Multiset.noncommSum_map {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid α] [AddMonoid β] [FunLike F α β] [AddMonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) (f : F) : f (s.noncommSum comm) = (Multiset.map (⇑f) s).noncommSum ⋯

Alias of Multiset.map_noncommSum.

@[deprecated Multiset.map_noncommProd_aux]

theorem Multiset.noncommProd_map_aux {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid α] [Monoid β] [FunLike F α β] [MonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (f : F) : {x : β | x ∈ Multiset.map (⇑f) s}.Pairwise Commute

Alias of Multiset.map_noncommProd_aux.

@[deprecated Multiset.map_noncommSum_aux]

theorem Multiset.noncommSum_map_aux {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid α] [AddMonoid β] [FunLike F α β] [AddMonoidHomClass F α β] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) (f : F) : {x : β | x ∈ Multiset.map (⇑f) s}.Pairwise AddCommute

Alias of Multiset.map_noncommSum_aux.

theorem Multiset.noncommSum_eq_card_nsmul {α : Type u_3} [AddMonoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) (m : α) (h : ∀ x ∈ s, x = m) : s.noncommSum comm = Multiset.card s • m

theorem Multiset.noncommProd_eq_pow_card {α : Type u_3} [Monoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (m : α) (h : ∀ x ∈ s, x = m) : s.noncommProd comm = m ^ Multiset.card s

theorem Multiset.noncommSum_eq_sum {α : Type u_6} [AddCommMonoid α] (s : Multiset α) : s.noncommSum ⋯ = s.sum

theorem Multiset.noncommProd_eq_prod {α : Type u_6} [CommMonoid α] (s : Multiset α) : s.noncommProd ⋯ = s.prod

theorem Multiset.noncommSum_addCommute {α : Type u_3} [AddMonoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise AddCommute) (y : α) (h : ∀ x ∈ s, AddCommute y x) : AddCommute y (s.noncommSum comm)

theorem Multiset.noncommProd_commute {α : Type u_3} [Monoid α] (s : Multiset α) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (y : α) (h : ∀ x ∈ s, Commute y x) : Commute y (s.noncommProd comm)

theorem Multiset.mul_noncommProd_erase {α : Type u_3} [Monoid α] [DecidableEq α] (s : Multiset α) {a : α} (h : a ∈ s) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (comm' : optParam (∀ x ∈ {x : α | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x : α | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯) : a * (s.erase a).noncommProd comm' = s.noncommProd comm

theorem Multiset.noncommProd_erase_mul {α : Type u_3} [Monoid α] [DecidableEq α] (s : Multiset α) {a : α} (h : a ∈ s) (comm : {x : α | x ∈ s}.Pairwise Commute) (comm' : optParam (∀ x ∈ {x : α | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x : α | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯) : (s.erase a).noncommProd comm' * a = s.noncommProd comm

theorem Finset.noncommSum_lemma {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) : {x : β | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise AddCommute

theorem Finset.noncommProd_lemma {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) : {x : β | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise Commute

Proof used in definition of Finset.noncommProd

def Finset.noncommSum {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) : β

Sum of a s : Finset α mapped with f : α → β with [AddMonoid β], given a proof that + commutes on all elements f x for x ∈ s.

Equations

• s.noncommSum f comm = (Multiset.map f s.val).noncommSum ⋯

def Finset.noncommProd {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) : β

Product of a s : Finset α mapped with f : α → β with [Monoid β], given a proof that * commutes on all elements f x for x ∈ s.

Equations

• s.noncommProd f comm = (Multiset.map f s.val).noncommProd ⋯

theorem Finset.noncommSum_induction {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (p : β → Prop) (hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a + b)) (unit : p 0) (base : ∀ x ∈ s, p (f x)) : p (s.noncommSum f comm)

theorem Finset.noncommProd_induction {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (p : β → Prop) (hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a * b)) (unit : p 1) (base : ∀ x ∈ s, p (f x)) : p (s.noncommProd f comm)

theorem Finset.noncommSum_congr {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] {s₁ : Finset α} {s₂ : Finset α} {f : α → β} {g : α → β} (h₁ : s₁ = s₂) (h₂ : ∀ x ∈ s₂, f x = g x) (comm : (↑s₁).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) : s₁.noncommSum f comm = s₂.noncommSum g ⋯

theorem Finset.noncommProd_congr {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] {s₁ : Finset α} {s₂ : Finset α} {f : α → β} {g : α → β} (h₁ : s₁ = s₂) (h₂ : ∀ x ∈ s₂, f x = g x) (comm : (↑s₁).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) : s₁.noncommProd f comm = s₂.noncommProd g ⋯

@[simp]

theorem Finset.noncommSum_toFinset {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] [DecidableEq α] (l : List α) (f : α → β) (comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (hl : l.Nodup) : l.toFinset.noncommSum f comm = (List.map f l).sum

@[simp]

theorem Finset.noncommProd_toFinset {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] [DecidableEq α] (l : List α) (f : α → β) (comm : (↑l.toFinset).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (hl : l.Nodup) : l.toFinset.noncommProd f comm = (List.map f l).prod

@[simp]

theorem Finset.noncommSum_empty {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (f : α → β) (h : (↑∅).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) : ∅.noncommSum f h = 0

@[simp]

theorem Finset.noncommProd_empty {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (f : α → β) (h : (↑∅).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) : ∅.noncommProd f h = 1

@[simp]

theorem Finset.noncommSum_cons {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (ha : a ∉ s) (comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) : (Finset.cons a s ha).noncommSum f comm = f a + s.noncommSum f ⋯

@[simp]

theorem Finset.noncommProd_cons {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (ha : a ∉ s) (comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) : (Finset.cons a s ha).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯

theorem Finset.noncommSum_cons' {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (ha : a ∉ s) (comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) : (Finset.cons a s ha).noncommSum f comm = s.noncommSum f ⋯ + f a

theorem Finset.noncommProd_cons' {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (ha : a ∉ s) (comm : (↑(Finset.cons a s ha)).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) : (Finset.cons a s ha).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a

@[simp]

theorem Finset.noncommSum_insert_of_not_mem {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] [DecidableEq α] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (ha : a ∉ s) : (insert a s).noncommSum f comm = f a + s.noncommSum f ⋯

@[simp]

theorem Finset.noncommProd_insert_of_not_mem {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] [DecidableEq α] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (ha : a ∉ s) : (insert a s).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯

theorem Finset.noncommSum_insert_of_not_mem' {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] [DecidableEq α] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (ha : a ∉ s) : (insert a s).noncommSum f comm = s.noncommSum f ⋯ + f a

theorem Finset.noncommProd_insert_of_not_mem' {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] [DecidableEq α] (s : Finset α) (a : α) (f : α → β) (comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (ha : a ∉ s) : (insert a s).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a

@[simp]

theorem Finset.noncommSum_singleton {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (a : α) (f : α → β) : {a}.noncommSum f ⋯ = f a

@[simp]

theorem Finset.noncommProd_singleton {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (a : α) (f : α → β) : {a}.noncommProd f ⋯ = f a

theorem Finset.map_noncommSum {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [AddMonoid β] [AddMonoid γ] [FunLike F β γ] [AddMonoidHomClass F β γ] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (g : F) : g (s.noncommSum f comm) = s.noncommSum (fun (i : α) => g (f i)) ⋯

theorem Finset.map_noncommProd {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [Monoid β] [Monoid γ] [FunLike F β γ] [MonoidHomClass F β γ] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (g : F) : g (s.noncommProd f comm) = s.noncommProd (fun (i : α) => g (f i)) ⋯

@[deprecated Finset.map_noncommProd]

theorem Finset.noncommProd_map {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [Monoid β] [Monoid γ] [FunLike F β γ] [MonoidHomClass F β γ] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (g : F) : g (s.noncommProd f comm) = s.noncommProd (fun (i : α) => g (f i)) ⋯

Alias of Finset.map_noncommProd.

@[deprecated Finset.map_noncommSum]

theorem Finset.noncommSum_map {F : Type u_1} {α : Type u_3} {β : Type u_4} {γ : Type u_5} [AddMonoid β] [AddMonoid γ] [FunLike F β γ] [AddMonoidHomClass F β γ] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (g : F) : g (s.noncommSum f comm) = s.noncommSum (fun (i : α) => g (f i)) ⋯

Alias of Finset.map_noncommSum.

theorem Finset.noncommSum_eq_card_nsmul {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (m : β) (h : ∀ x ∈ s, f x = m) : s.noncommSum f comm = s.card • m

theorem Finset.noncommProd_eq_pow_card {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (m : β) (h : ∀ x ∈ s, f x = m) : s.noncommProd f comm = m ^ s.card

theorem Finset.noncommSum_addCommute {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) (y : β) (h : ∀ x ∈ s, AddCommute y (f x)) : AddCommute y (s.noncommSum f comm)

theorem Finset.noncommProd_commute {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] (s : Finset α) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (y : β) (h : ∀ x ∈ s, Commute y (f x)) : Commute y (s.noncommProd f comm)

theorem Finset.mul_noncommProd_erase {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] [DecidableEq α] (s : Finset α) {a : α} (h : a ∈ s) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯) : f a * (s.erase a).noncommProd f comm' = s.noncommProd f comm

theorem Finset.noncommProd_erase_mul {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] [DecidableEq α] (s : Finset α) {a : α} (h : a ∈ s) (f : α → β) (comm : (↑s).Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) (comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯) : (s.erase a).noncommProd f comm' * f a = s.noncommProd f comm

theorem Finset.noncommSum_eq_sum {α : Type u_3} {β : Type u_6} [AddCommMonoid β] (s : Finset α) (f : α → β) : s.noncommSum f ⋯ = s.sum f

theorem Finset.noncommProd_eq_prod {α : Type u_3} {β : Type u_6} [CommMonoid β] (s : Finset α) (f : α → β) : s.noncommProd f ⋯ = s.prod f

theorem Finset.noncommSum_union_of_disjoint {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] [DecidableEq α] {s : Finset α} {t : Finset α} (h : Disjoint s t) (f : α → β) (comm : {x : α | x ∈ s ∪ t}.Pairwise fun (a b : α) => AddCommute (f a) (f b)) : (s ∪ t).noncommSum f comm = s.noncommSum f ⋯ + t.noncommSum f ⋯

The non-commutative version of Finset.sum_union

theorem Finset.noncommProd_union_of_disjoint {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] [DecidableEq α] {s : Finset α} {t : Finset α} (h : Disjoint s t) (f : α → β) (comm : {x : α | x ∈ s ∪ t}.Pairwise fun (a b : α) => Commute (f a) (f b)) : (s ∪ t).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * t.noncommProd f ⋯

The non-commutative version of Finset.prod_union

theorem Finset.noncommSum_add_distrib_aux {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] {s : Finset α} {f : α → β} {g : α → β} (comm_ff : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => AddCommute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => AddCommute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => AddCommute (g x) (f y)) : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => AddCommute ((f + g) x) ((f + g) y)

theorem Finset.noncommProd_mul_distrib_aux {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] {s : Finset α} {f : α → β} {g : α → β} (comm_ff : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => Commute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => Commute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => Commute (g x) (f y)) : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => Commute ((f * g) x) ((f * g) y)

theorem Finset.noncommSum_add_distrib {α : Type u_3} {β : Type u_4} [AddMonoid β] {s : Finset α} (f : α → β) (g : α → β) (comm_ff : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => AddCommute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => AddCommute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => AddCommute (g x) (f y)) : s.noncommSum (f + g) ⋯ = s.noncommSum f comm_ff + s.noncommSum g comm_gg

The non-commutative version of Finset.sum_add_distrib

theorem Finset.noncommProd_mul_distrib {α : Type u_3} {β : Type u_4} [Monoid β] {s : Finset α} (f : α → β) (g : α → β) (comm_ff : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => Commute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => Commute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun (x y : α) => Commute (g x) (f y)) : s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg

The non-commutative version of Finset.prod_mul_distrib

theorem Finset.noncommSum_single {ι : Type u_2} {M : ι → Type u_6} [(i : ι) → AddMonoid (M i)] [Fintype ι] [DecidableEq ι] (x : (i : ι) → M i) : Finset.univ.noncommSum (fun (i : ι) => Pi.single i (x i)) ⋯ = x

theorem Finset.noncommProd_mul_single {ι : Type u_2} {M : ι → Type u_6} [(i : ι) → Monoid (M i)] [Fintype ι] [DecidableEq ι] (x : (i : ι) → M i) : Finset.univ.noncommProd (fun (i : ι) => Pi.mulSingle i (x i)) ⋯ = x

theorem AddMonoidHom.pi_ext {ι : Type u_2} {γ : Type u_5} [AddMonoid γ] {M : ι → Type u_6} [(i : ι) → AddMonoid (M i)] [Finite ι] [DecidableEq ι] {f : ((i : ι) → M i) →+ γ} {g : ((i : ι) → M i) →+ γ} (h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)) : f = g

theorem MonoidHom.pi_ext {ι : Type u_2} {γ : Type u_5} [Monoid γ] {M : ι → Type u_6} [(i : ι) → Monoid (M i)] [Finite ι] [DecidableEq ι] {f : ((i : ι) → M i) →* γ} {g : ((i : ι) → M i) →* γ} (h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)) : f = g