Characteristic of semirings

theorem Commute.add_pow_prime_pow_eq {R : Type u_1} [Semiring R] {p : ℕ} {x : R} {y : R} (hp : Nat.Prime p) (h : Commute x y) (n : ℕ) : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 (p ^ n), x ^ k * y ^ (p ^ n - k) * ↑((p ^ n).choose k / p)

theorem Commute.add_pow_prime_eq {R : Type u_1} [Semiring R] {p : ℕ} {x : R} {y : R} (hp : Nat.Prime p) (h : Commute x y) : (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)

theorem Commute.exists_add_pow_prime_pow_eq {R : Type u_1} [Semiring R] {p : ℕ} {x : R} {y : R} (hp : Nat.Prime p) (h : Commute x y) (n : ℕ) : ∃ (r : R), (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r

theorem Commute.exists_add_pow_prime_eq {R : Type u_1} [Semiring R] {p : ℕ} {x : R} {y : R} (hp : Nat.Prime p) (h : Commute x y) : ∃ (r : R), (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * r

theorem add_pow_prime_pow_eq {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : Nat.Prime p) (x : R) (y : R) (n : ℕ) : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 (p ^ n), x ^ k * y ^ (p ^ n - k) * ↑((p ^ n).choose k / p)

theorem add_pow_prime_eq {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : Nat.Prime p) (x : R) (y : R) : (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Finset.Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)

theorem exists_add_pow_prime_pow_eq {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : Nat.Prime p) (x : R) (y : R) (n : ℕ) : ∃ (r : R), (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r

theorem exists_add_pow_prime_eq {R : Type u_1} [CommSemiring R] {p : ℕ} (hp : Nat.Prime p) (x : R) (y : R) : ∃ (r : R), (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * r

theorem add_pow_char_of_commute (R : Type u_1) [Semiring R] {p : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] (x : R) (y : R) (h : Commute x y) : (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p

theorem add_pow_char_pow_of_commute (R : Type u_1) [Semiring R] {p : ℕ} {n : ℕ} [hp : Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] (x : R) (y : R) (h : Commute x y) : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n

theorem sub_pow_char_of_commute (R : Type u_1) [Ring R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] (x : R) (y : R) (h : Commute x y) : (x - y) ^ p = x ^ p - y ^ p

theorem sub_pow_char_pow_of_commute (R : Type u_1) [Ring R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] {n : ℕ} (x : R) (y : R) (h : Commute x y) : (x - y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n - y ^ p ^ n

theorem add_pow_char (R : Type u_1) [CommSemiring R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] (x : R) (y : R) : (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p

theorem add_pow_char_pow (R : Type u_1) [CommSemiring R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] {n : ℕ} (x : R) (y : R) : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n

theorem add_pow_eq_add_pow_mod_mul_pow_add_pow_div (R : Type u_1) [CommSemiring R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] {n : ℕ} (x : R) (y : R) : (x + y) ^ n = (x + y) ^ (n % p) * (x ^ p + y ^ p) ^ (n / p)

theorem sub_pow_char (R : Type u_1) [CommRing R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] (x : R) (y : R) : (x - y) ^ p = x ^ p - y ^ p

theorem sub_pow_char_pow (R : Type u_1) [CommRing R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] {n : ℕ} (x : R) (y : R) : (x - y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n - y ^ p ^ n

theorem sub_pow_eq_sub_pow_mod_mul_pow_sub_pow_div (R : Type u_1) [CommRing R] {p : ℕ} [Fact (Nat.Prime p)] [CharP R p] {n : ℕ} (x : R) (y : R) : (x - y) ^ n = (x - y) ^ (n % p) * (x ^ p - y ^ p) ^ (n / p)

theorem CharP.neg_one_pow_char (R : Type u_1) [Ring R] (p : ℕ) [CharP R p] [Fact (Nat.Prime p)] : (-1) ^ p = -1

theorem CharP.neg_one_pow_char_pow (R : Type u_1) [Ring R] (p : ℕ) (n : ℕ) [CharP R p] [Fact (Nat.Prime p)] : (-1) ^ p ^ n = -1

theorem CharP.char_ne_zero_of_finite (R : Type u_1) [NonAssocRing R] (p : ℕ) [CharP R p] [Finite R] : p ≠ 0

The characteristic of a finite ring cannot be zero.

theorem CharP.ringChar_ne_zero_of_finite (R : Type u_1) [NonAssocRing R] [Finite R] : ringChar R ≠ 0

theorem CharP.char_is_prime (R : Type u_1) [Ring R] [NoZeroDivisors R] [Nontrivial R] [Finite R] (p : ℕ) [CharP R p] : Nat.Prime p